Método Newton

Calculadora gráfica para el método de Newton

El diagrama muestra el número elegido de pasos de iteración desde el valor inicial en líneas lineales. Las líneas de puntos muestran el valor inicial del siguiente paso de iteración. Puede coger el punto inicial en el diagrama y moverse a lo largo de la función.

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Número de iteraciones=

Valor inicial x₀=

Función f(x):

Línea tangente:

Rangos de los ejes

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Valores de los parámetros

a=

b=

c=

Rangos de parámetros

a-min=

b-min=

c-min=

a-max=

b-max=

c-max=

f(x)=

cl

ok

Pos1

End

7

8

9

/

x

4

5

6

*

a

b

c

1

2

3

-

π

(

)

0

.

+

sin

cos

tan

e^x

ln

x^a

a/x

^

asin

acos

atan

x²

√x

a^x

a/(x+b)

|x|

sinh

cosh

^a⋅x+c / _b⋅x+c

^a+x / _b+x

^x²-a²/ _x²+b²

^a / _x+b

^1+√x / _1-√y

e^xsin(x)cos(x)

√x+a

√e^a⋅x

a⋅x²+b⋅x+c

\sin (π x + \frac{π}{4})

\cos (π x + \frac{π}{4})

\tan (π x + \frac{π}{4})

\sin^{2} (π x + \frac{π}{4})

\cos^{2} (π x + \frac{π}{4})

\tan^{2} (π x + \frac{π}{4})

\frac{1}{\sin (x)}

\frac{1}{\cos (x)}

\frac{1}{\tan (x)}

\frac{\sin (x)}{\cos (π \cdot x)}

\sin (\cos (x))

e^{x} \sin (x) \cos (x)

Función	Descripción
sin(x)	Seno de x
cos(x)	Coseno de x
tan(x)	Tangente de x
asin(x)	arcoseno de x
acos(x)	arccosina de x
atan(x)	arctangente de x
atan2(y, x)	Devuelve la arctangente del cociente de sus argumentos.
cosh(x)	Coseno hiperbólico de x
sinh(x)	Seno hiperbólico de x
pow(a, b)	Potencia a^b
sqrt(x)	Raíz cuadrada de x
exp(x)	Potencia e al x
log(x), ln(x)	Logaritmo natural
log(x, b)	Logaritmo en base b
log2(x), lb(x)	Logaritmo en base 2
log10(x), ld(x)	Logaritmo en base 10

más ...

Notación: La función debe introducirse en la notación de la sintaxis Javascript.

Parámetros: Se dispone de tres constantes a, b y c, que pueden modificarse mediante los deslizadores. El punto de inicio se muestra mediante la cruz negra en el diagrama y puede desplazarse.

Iteraciones calculadas con el método Newton

Descripción del método Newton

El método de Newton, también conocido como método de Newton-Raphson, es un método iterativo para determinar los ceros de funciones. Fue desarrollado por Sir Isaac Newton en el siglo XVII y se basa en la idea de que una función cercana a un cero puede aproximarse por su tangente. El método de Newton utiliza la idea de iteración, lo que significa que pasa por varios pasos para encontrar una aproximación del cero. El proceso consiste en elegir una estimación inicial para el punto cero (x0) y, a continuación, utilizar la ecuación de la tangente de la función en ese punto para encontrar una nueva estimación (x1). Este proceso se repite hasta alcanzar la precisión deseada.

Los pasos del método Newton son:

Elija una estimación inicial x0.
Calcula la primera derivada f'(x) de la función f(x) en el punto x0.
Calcula la nueva estimación x1 con la fórmula x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

Repita los pasos hasta alcanzar la precisión deseada.

El método de Newton puede converger a la solución de ceros de funciones muy rápidamente, pero tiene algunas limitaciones. No siempre se garantiza que converja a la solución y requiere conocer la primera derivada de la función. Tampoco es adecuado para todas las funciones y puede conducir a resultados no deseados si la estimación inicial no está bien elegida.

El objetivo del método de Newton es encontrar un cero de una función generalmente no lineal. Es decir, encontrar una solución de la ecuación

$f (x) = 0$

Para ello, se linealiza la función en una posición x₀ sustituyendo la función por su tangente. Así, por la ecuación de una recta que pasa por el punto (x₀), la pendiente f'(x₀).

La forma general de la ecuación de la línea recta es

$y = a x + b$

Condiciones

$f (x_{0}) = f' (x_{0}) x_{0} + b$

Disolución después de b

$b = f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0}$

Así, la ecuación de la línea recta está completamente determinada

$y = f' (x_{0}) x + f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0} = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

El punto cero deseado de f se sustituye ahora por el punto cero de la ecuación de la recta como primera aproximación.

$0 = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

Resolviendo a x se obtiene la primera aproximación para el punto cero.

$x = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})}$

La iteración consiste en utilizar esta aproximación como punto de partida para la siguiente aproximación. El proceso de iteración es entonces el siguiente:

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}$

con cualquier valor inicial x₀. La convergencia del método de Newton depende sensiblemente de la elección del valor inicial.

Ejemplo del método de Newton

El ejemplo muestra los pasos de iteración del método Newton para encontrar numéricamente la raíz de una función cuadrática.

La función de ejemplo es:

$f (x) = x^{2} - x$

La derivada es:

$f' (x) = 2 x - 1$

Utilizamos como valor inicial:

$x_{0} = 3.5$

El primer paso de iteración es:

$x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} = 3.5 - \frac{8.75}{6.5} = 2.04167$

El valor de la función en el primer paso de iteración es:

$f (x_{1}) = 2.12674$

$f' (x_{1}) = 3.08334$

Así pues, el segundo paso de iteración es:

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})} = 2.04167 - \frac{2.12674}{3.08334} = 1.35192$

Y así sucesivamente para los siguientes pasos de iteración.

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